Kockanje i nauka: Matematičar koji je spasao kockarnice

Šefovi su bili nervozni. Njihova kompanija je bila zadužena za izradu preciznih mašina za mešanje karata za kockarnice.

Na hiljade njihovih mehaničkih mešača karata su bili postavljeni u Las Vegasu i širom sveta.

Prihodi od iznajmljivanja tih mašina su im donosili milione dolara svake godine, a kompanija je bila i deo njujorške berze.

Svejedno, šefovi su nedavno otkrili i da je jednu od njihovih mašina hakovala banda prevaranata.

Oni su koristili skrivenu video kameru i snimili rad mašine za mešanje karata kroz staklo prozora na kazinu.

Fotografije su bile prosleđivane na parking kockarnice, a tamo bile ponovo emitovane usporeno, da bi se uvidele sekvence karata u špilu, a zatim bi rezultat takve analize bio ponovo prosleđen kockarima koji su bili u kazinu.

Kockarnice su izgubile milione dolara pre nego što su prevaranti konačno bili uhvaćeni.

• Žena koja je muškarcima pokazala kako se igra poker i razbila sve stereotipe
• Mladi, kockanje i zavisnost – situacija u Srbiji i svetu
• Svetski dan lutrije: Kako srpski igrači biraju brojeve

Vlasnici kockarnica su bili odlučni u nameri da više nikada ne budu hakovani.

Razvili su prototip nove, sofisticirane mašine za mešanje karata, ovog puta zatvorene u neprozirnu kutiju.

Inženjeri su ih ubeđivali da će špilovi biti uspešno promešani sa samo jednim prolaskom kroz mašinu, skraćujući tako vreme između dve ruke.

Brojači karata i korumpirani krupijei nisu imali šanse.

Ipak, morali su da budu sigurni da će njihova mašina propisno mešati karte.

Bio im je potreban Persi Dijakonis.

Dijakonis, mađioničar i matematičar sa Stenforda, smatra se za najistaknutijeg stručnjaka na polju matematike mešanja špilova karata.

U iznenađujuće obimnoj literaturi koja se bavi ovom temom, njegovo ime se pojavljuje kao as pik kod mađioničara koji vladaju trikovima sa kartama.

Zbog svega toga nije ni čudo da sam Dijakonis nije mogao da poveruje vlastitoj sreći kada je bio pozvan od vlasnika kazina da proveri kako njihova nova mašina funkcioniše.

On je sa saradnicom Suzan Holms, statističarkom sa Stenforda, stigao u Las Vegas i počeo da istražuje prototip njihove nove mašine.

Oni su ubrzo otkrili manu.

Iako se činilo da mehanička funkcija mašine karte meša nasumično, matematičari su primetili da se u promešanom špilu karte i dalje sortiraju po rastućim ili opadajućim vrednostima, što je značilo da je i dalje bilo moguće predvideti redosled karata.

Da bi dokazali te tvrdnje šefovima kazina, Dijakonis i Holms su smislili jednostavnu tehniku pogađanja karte koja će biti sledeća u špilu.

Ukoliko bi prva okrenuta karta bila, recimo, petica srce, oni bi pretpostavili da će sledeća biti šestica srce, pod pretpostavkom da niz raste.

Ako bi sledeća karta bila nominalno niža od prve, to bi značilo da je ceo špil bio promešan u opadajućem nizu, pa bi njihov sledeći pokušaj bio trojka herc.

Ovako jednostavnom strategijom, matematičari su bili u mogućnosti da ispravno predvide devet od deset karata po špilu – ukupno jednu petinu – što bi bilo dovoljno da udvostruče ili utrostruče prednost svakog kompetentnog brojača karata.

Brojanje karata je praksa tokom koje igrač vodi evidenciju o tome koje su karte već podeljene da bi mogao da stekne malu prednost predviđajući da li sledeća karta donosi pobedu ili gubitak.

Brojanje karata se sprovodi već decenijama (u nekim kartaroškim igrama, kao što je bridž, to je legitimni način igre), ali je odavno provaljeno u kockarskim igrama kakav je ajnc (blekdžek).

Korišćenje tehnologije u brojanju karata nije dozvoljeno.

Šefovi su bili prestrašeni.

„Ne dopadaju nam se vaši zaključci“, napisali su Dijakonisu, „ali im verujemo, a zbog toga smo vas i angažovali“.

Kompanija je zatim odbacila prototip i okrenula se drugačijoj mašini.

Dijakonis je ceo život proveo proučavajući probleme koji egzistiraju između poretka i slučajnosti.

Bez obzira da li se radi o dekodiranju skremblovanih poruka, ponovnom sastavljanju DNK niza ili optimizaciji internet pretrage, on je posedovao talenat da takve probleme pretvara u problematiku vezanu za mešanje karata.

• Da li je igra Monopol bila zabranjena u Jugoslaviji
• Kompjuteri su naučili kako da nas prevare i evo zašto je to dobro

Ceo svet u špilu karata

U svakom špilu se nalazi bezbroj kombinacija.

Standardni špil sadrži 52 karte i on može da bude promešan u astronomski visokom broju različitih kombinacija ili permutacija.

Postoje 52 različite vrednosti za prvu kartu, 51 za drugu, 50 za treću i tako dalje.

Samim tim, broj mogućih permutacija je 52x51x50…x2x1.

Matematičari ovo nazivaju faktorijalom 52, ili jednostavnije – 52!.

Bez obzira na kompaktnu (i naglašenu) notaciju, 52! je ogroman broj, sa 68 cifara.

U špilu karata postoji ogroman broj kombinacija koji otprilike odgovara broju atoma u našoj galaksiji.

Bilo koja od ovih kombinacija – nasumično odabrana – je statistički toliko malo verovatna, da je skoro izvesno da se promešana kombinacija uvek pojavljuje po prvi put, bilo gde.

Njegovo interesovanje za karte je započeto sasvim slučajno, 1958. godine.

Imao je 13 godina kada je u Tanenovom magičnom emporijumu u Njujorku, na Tajms skveru, upoznao Aleksa Elmslija, smirenog Škotlanđanina, naučnika i mađioničara koji je uvežbao „savršeno mešanje“.

Poznato i kao „faro mešanje“ ili jednostavno zvano „tehnikom“, ovakvo mešanje karata podrazumeva sečenje špila na dve polovine od po 26 karata, a zatim i njihovo savršeno spajanje tehnikom koja podseća na rajsfešlus uz alternativno preplitanje karata iz podeljenih gomila, kartu po kartu.

Veoma je mali broj ljudi koji su u stanju da to precizno izvedu za manje od 10 sekundi.

Dijakonis je jedan od njih.

Savršeno mešanje karata koriste kockari i mađioničari vekovima jer daje iluziju nasumično promešanih karata.

Ali daleko je to od nasumičnog.

U stvarnosti, ukoliko istu sekvencu savršenog mešanja izvedete osam puta zaredom, špil će nekom magijom povratiti svoj originalni raspored.

Dijakonis savršeno mešanje voli da demonstrira tako što otvori novi špil karata i po jednoj strani celog špila ispiše debelim crnim markerom reč NASUMICE.

Dok izvodi ešanja, slova se mešaju, pojavljuju pa nestaju kao duhovi, kao loše podešena slika na starim televizorima.

A onda, pošto izvede i osmo savršeno mešanje karata, napisana reč se nanovo materijalizuje po stranici špila.

Karte su ponovo u originalnom rasporedu, od asa u piku do asa herc.

Vratimo se u Tanenov magični emporijum, kada je Elmsli objasnio suptilne matematičke principe koji objašnjavaju ovaj trik.

Zamislite kako ste sami poređali karte od 1 do 52, gde je prva karta na vrhu špila 1, a poslednja 52.

Dok izvodite savršeno mešanje, karte menjaju mesto u špilu.

Tako, na primer, karta koja je originalno bila na poziciji broj dva, sada ide na poziciju tri, dok ona koja je bila na mestu tri, sada ide na mesto broj pet, dok se karta sa pozicije 27 vraća na mesto broj dva i tako dalje.

Savršeno mešanje se može predstaviti i kao serija ciklusa, kao ona čuvena dečja igra sa muzičkim stolicama.

Broj mešanja potreban za povratak u originalni poredak karata je najmanji mogući proizvod dužina svih ciklusa – u ovom slučaju osam mešanja (osam je najmanji proizvod množenja brojeva jedan, dva i osam).

Godinu dana posle susreta sa Elmslijem u Tanenovom magičnom emporijumu, 14-godišnji Dijakonis je pobegao od kuće ne bi li naučio kako da postane mađioničar od jednog čuvenog majstora sa kartama.

Oni su proveli 10 godina putujući, učeći svaki mogući stil mešanja i prateći sve znane korumpirane krupijee, ne bi li naučili njihove tehnike.

Razgovor sa Elmslijem je raspalio Dijakonisovu znatiželju.

Kakve još veze postoje između matematike i magije?

Dijakonis kaže da će na njegovom nadgrobnom spomeniku pisati „Dovoljno je i sedam mešanja“.

Ovo se odnosi na njegov najčuveniji zaključak – da je za dovoljno nasumično promešan špil karata potrebno sedam „kockarskih mešanja“.

Ovakvo mešanje karata je poznata tehnika koju koriste kockarnice i ozbiljni igrači i podrazumeva da je špil prvo presečen na pola, a zatim ponovo sastavljen kao rajsfešlus, što se vrlo često završava formiranjem mosta posle čega se špil ponovo uredno formira.

Ovakvo kockarsko mešanje je nestašni blizanac savršenog mešanja.

Umesto savršenog preplitanja dve polovine špila, polovine su izmešane uz pomoć dve nejednake gomile i tako sastavljene polovine dalje šire nasumičnost svakim sledećim mešanjem.

Posle jednog ili dva ovakva mešanja, neke karte će ostati na svom originalnom mestu.

Čak i posle četiri ili pet mešanja – što je daleko više nego što kockarnice uobičajeno rade – špil će zadržati neku vrsta poretka.

Ali kada jednom karte promešate sedam puta, one postaju istinski promešane, barem onoliko koliko to pokazuju statistički testovi.

U daljim mešanjima, ne postiže se više neki bitan efekat: „Bliže se ne može doći čistoj slučajnosti“, kaže Dijakonis.

„Markovljev lanac je bilo koja ponovljena akcija u kojoj ishod zavisi isključivo od trenutnog stanja, a ne od načina uz pomoć kojeg se do tog stanja došlo“, objašnjava Sami Hajes Asaf, matematičar sa Univeziteta Južna Kalifornija.

To znači da Markovljev lanac „ne pamti“ šta je bilo pre njega.

Ovo je dosta dobar model za mešanje karata, kaže Asaf.

Ishod sedmog mešanja zavisi samo od rasporeda karata posle šestog mešanja, a ne od toga kako je špil mešan prethodnih pet puta.

Markovljevi lanci su široko rasprostranjeni u statistici i kompjuterskoj nauci pri rukovođenju različitih događaja, bez obzira da li je to mešanje karata ili vibriranje atoma ili fluktuacija berzanskih vrednosti.

U svakom od slučajeva, buduće „stanje“ – raspored u špilu, energija atoma, vrednost akcija – zavisi isključivo od onog što se dešava u sadašnjosti, a ne u prošlosti.

Bez obzira na ovu jednostavnost, Markovljev lanac može da se koristi i u predviđanju određenih događaja nakon brojnih ponavljanja.

Guglov PejdžRenk algoritam, koji rangira vebsajtove prema rezultatima pretraga, bazira se na principu Markovljevog lanca koji modeluje ponašanje milijardi korisnika interneta koji nasumično klikću na linkove sajtova.

U saradnji sa Dejvom Bajerom, matematičarem sa njujorškog Univerziteta Kolumbija, Dijakonis je pokazao kako Markovljev lanac u slučaju kockarskog mešanja posle sedme sekvence pokazuje oštru tranziciju od određenog ka nasumičnom.

Ovakva pojava je uobičajeno svojstvo za probleme sa mešanjem.

Zamislite kako umućujete pavlaku u kafu: dok mešate, pavlaka formira bele tragove u crnoj kafi pre nego što se, iznenada i nepovratno, pomeša sa njom.

Znajući koja strana podeljenog špila je na vrhu – bez obzira da li su karte propisano promešane ili i dalje u sebi sadrže neko sećanje na originalni poredak – kockarima daje izvesnu prednost u odnosu na kockarnicu.

Tokom 90-ih godina, grupa studenata sa Harvarda i MIT-a je bila u mogućnosti da predvidi ishod igrajući ajnc u kockarnicama širom Amerike koristeći brojanje karata i druge metode ne bi li proverili da li su karte bile propisno izmešane.

Kockarnice su na to odgovorile uvođenjem sve prefinjenijih mašina za mešanje i dodatnim mešanjem špila pre samog deljenja, kao i još naprednijim nadzorom igrača.

Svejedno, vrlo je retko videti u kockarnicama špil karata koji je mašina promešala propisanih sedam puta.

Šefovi kockarnica možda i nisu obratili dovoljno pažnje na Dijakonisova istraživanja, ali on nastavlja da ima ogroman uticaj na matematičare, statističare i kompjuterske naučnike koji se bave nasumičnošću.

Tokom jednog seminara održanom na Stenfordu 2020. u čast Dijakonisovog 75. rođendana, njegove kolege iz celog sveta su govorili o matematici genetske klasifikacije, o tome kako se cerealije sležu u kutiji koja se trese, ali svakako i o tome kako se mešaju karte.

Dijakonisa samo kockanje ne zanima – on kaže da postoje mnogo bolji i zanimljiviji načini da se zaradi.

Ali ništa ne zamera igračima koji samo pokušavaju da pobede koristeći sopstveni mozak.

„Razmišljanje nije varanje“, kaže on.

„Razmišljanje je razmišljanje“.

Pratite nas na Fejsbuku i Tviteru. Ako imate predlog teme za nas, javite se na [email protected]